Selasa, 13 Mei 2014


RUANG SAMPEL:
Yang dimaksud dengan ruang sampel suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Percobaan adalah proses yang menghasilkan suatu hasil pengukuran atau pengamatan.
Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel (titik sampel. Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi dua yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.
Ruang sampel dikatakan ruang sampel diskrit jika anggota dari ruang sampel dapat didaftar. Sedangkan jika anggota dari ruang sampel tidak dapat didaftar disebut ruang sampel kontinu.

Ruang Sampel dilambangkan dengan :
S={s1,s2,...}

n(S)-banyaknya anggota S

Contoh:
1. Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dalam hal ini n (S) = 6
Karena ruang sampel dapat didaftar maka S merupakan ruang sampel diskrit.
2. Tentukan ruang sampel dari semua titik (x, y) yang terletak di luar suatu lingkaran yang berjari – jari 5!
Jawab:
Ruang sampelnya adalah S = { (x, y) /x2 + y2 = 25} jadi n (S) = ∞
Karena anggota dari ruang sampel tidak dapat di daftar maka S merupakan ruang sampel kontinu.
3. Sebuah koin doilempar dua kali tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul adalah A, G maka:
S = {AA, AG, GA, GG} jadi n (S) = 4

Ada 3 cara menentukan ruang sampel dari suatu percobaan :
• Dengan mendaftar langsung
• Dengan diagram pohon
• Dengan tabel


lebih jelasnya...... tapi panjang lebar !!!!!!


BAB VII PELUANG DAN PEUBAH ACAK DISKRIT


7.1 Peluang

            Dalam kehidupan ini peristiwa yang akan atau belum terjadi masih merupakan ketidakpastian. Ketidakpastian ini yang membawa kita kepada konsep peluang. Peluang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, resiko dari suatu usaha, atau menyatakan tingkat kepercayaan. Dalam bab ini akan didefinisikan peluang secara matematis. Konsep peluang dibangun menggunakan konsep himpunan. Beberapa istilah yang berkaitan dengan definisi peluang diberikan pada daftar istilah berikut.

ISTILAH

v  Ruang Sampel atau ruang contoh, ditulis dengan S, adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak.
v  Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel.
v  Kejadian adalah suatu himpunan hasil atau suatu himpunan bagian dari  ruang sampel. Himpunan bagian dari suang sampel S disebut ”kejadian dalam S”.
v  Gabungan dua kejadian A dan B, ditulis AB, adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalan A atau hasil dalam B.
v  Irisan (interseksi) dua kejadian A dan B, ditulis AB  adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalam A yang sekaligus adalah hasil dalam B, atau hasil dalam B yang sekaligus adalah hasil dalam A.  Jika AB =, A dan B dikatakan saling asing atau merupakan dua kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama-sama.
v  Komplemen suatu kejadian A, ditulis AC adalah suatu kejadian dalam S yang hasilnya adalah bukan hasil dari A.






Contoh 7.1

Misalkan pada percobaan memeriksa tiga barang (komponen elektronik tertentu) yang dihasilkan oleh mesin tertentu di suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan sebagai baik (B) atau cacat (C).
Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {BBB, BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}

Misalkan:
K adalah kejadian tidak terdapat barang yang cacat,
L adalah kejadian terdapat  barang yang cacat,
M adalah kejadian terdapat satu barang yang cacat,
N adalah kejadian terdapat dua barang yang cacat,
O adalah kejadian banyaknya barang yang cacat satu atau dua buah,
maka
K = {BBB}
L = {BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}
M = {CBB, BCB, BBC}
N = {BCC, CBC, CCB}
O = {CBB, BCB, BBC, BCC, CBC, CCB}
Perhatikan bahwa kejadian L = = Kc, kejadian O = MN
Tentukan M  N,  M  L, N  L, L  O

Definisi Peluang

Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan dan A, A1, A2, ... kejadian yang mungkin pada ruang sampel ini. Suatu fungsi P(A) disebut peluang dari A, jika memenuihi sifat-sifat berikut :
  1. 0≤ P(A)  
  2. P(S) = 1
Untuk sembarang kejadian A, A, A…… yang saling asing yaitu A∩ A= Ø untuk i≠j maka P=

Definisi Klasik Tentang Peluang

Jika suatu eksperimen menghasilkan sejumlah hingga hasil yang mungkin, misalnya n, dan setiap hasil tidak mungkin terjadi bersama-sama serta masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka , dengan n(A) = banyaknya hasil dalam A.

Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan acak, maka berlaku:
1.      P(Ac) = 1 - P(A)
2.      Untuk sebarang kejadian A dan B dengan AB = ,
                                    P(AB) = P(A) + P(B)
3.      Untuk sebarang kejadian A dan B,
                                    P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
Contoh 7.2
Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari kotak dengan 52 kartu, sehingga setiap kartu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih yaitu dengan peluang1/52.
Misalkan A adalah kejadian diperoleh “sebuah kartu as merah” dan B adalah kejadian diperoleh “sebuah hati”, maka
                     P(A)=2/52  dan  P(B)=13/52
                     P(AÇB) = 1/52.
                     P(AÈB) = 2/52 + 13/52 - 1/52   = 14/52 = 7/26

7.2 Peubah Acak Diskret

Misal S ruang sampel. Fungsi X yang memetakan setiap anggota ruang sampel S ke suatu bilangan riil disebut peubah acak (variabel random). Peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf besar, misal X, Y, Z, dan sebagainya, sedangkan nilai-nilai dari peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil misal x, y, z, dan sebagainya.

Contoh 7.3
Pada percobaan melambungkan satu mata uang logam setimbang satu kali, misalkan yang diperhatikan adalah sisi mata uang yang muncul yaitu Angka (A) atau Gambar (G), maka ruang sampel S = {A,G}.
Misal X adalah peubah acak yang menyatakan frekuensi munculnya gambar, maka nilai-nilai X yang mungkin adalah 0 atau 1.
Himpunan semua nilai X yang mungkin dinotasikan dengan X(S), sehingga untuk contoh di atas X(S) ={0,1}.

Contoh 7.4
Seorang petugas bagian penerima dan pemeriksa barang di suatu departemen bertugas untuk mengamati barang-barang eletronik yang diterima oleh departemen tersebut apakah baik (B) atau cacat (C). Karena adanya keterbatasan waktu, petugas tersebut tidak dapat mengecek semua barang yang masuk melainkan hanya akan mengambil secara acak 3 barang saja.
Seluruh hasil yang mungkin dari pengamatan petugas tersebut adalah
S = {BBB,BBC,BCB,CBB,CCB,CBC,BCC,CCC}
Misal Y peubah acak yang menyatakan banyaknya peralatan yang cacat, maka nilai-nilai Y yang mungkin adalah 0, 1, 2, atau 3. Jadi Y(S) = {0,1,2,3}

Contoh 7.5
Jika dua dadu setimbang bermata enam dilambungkan sekali, maka ruang sampel dari percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:

Dadu
II



I

1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Misal T peubah acak yang menyatakan jumlah mata dadu yang muncul, maka      T(S) = {2, 3, 4, …, 12}
Selain itu, definisikan contoh peubah acak yang lain dari percobaan melambungkan dua dadu setimbang bermata enam di atas.
Jika himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan terhitung yaitu {x1, x2, x3, …., xn} atau {x1, x2, x3, …. } maka peubah acak tersebut disebut peubah acak diskret.
Pada contoh di atas X,Y,T merupakan peubah acak diskret.

7.3  Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret
Fungsi peluang peubah acak X dinotasikan dengan f(x) didefinisikan sebagai f(x) = P(X = x).  ( f(x) didefinisikan sebagai peluang X=x )
Untuk Contoh 7.3 di atas, nilai-nilai f(x) adalah:
Untuk Contoh 7.4, nilai-nilai  f(y) dapat dinyatakan dalam tabel berikut:

y
0
1
2
3
F (y) = P(Y =y)

Tabel di atas merupakan tabel sebaran peluang peubah diskret Y.








Grafik sebaran peluang peubah acak diskret Y dapat digambarkan sebagai berikut:


 

















SIFAT:
Fungsi f(x) merupakan fungsi peluang dari  peubah acak diskret X jika:
i).
ii).
Latihan 7.

1. Tentukan peluang kejadian K, L, M, N, O
2. Dari Contoh 7.5 di atas:
  1. Buatlah tabel sebaran peluang peubah acak T.
  2. Buatlah grafik sebaran peluang peubah acak T.
  3. Hitunglah  P(T > 7).
  4. Hitunglah P(3 < T < 7).
  5. Hitunglah P(T < 8).