RUANG SAMPEL:
Yang dimaksud dengan ruang sampel suatu percobaan adalah
himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
Percobaan adalah proses yang menghasilkan suatu hasil
pengukuran atau pengamatan.
Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota
ruang sampel (titik sampel. Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel
dibedakan menjadi dua yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.
Ruang sampel dikatakan ruang sampel diskrit jika anggota
dari ruang sampel dapat didaftar. Sedangkan jika anggota dari ruang sampel
tidak dapat didaftar disebut ruang sampel kontinu.
Ruang Sampel dilambangkan dengan :
S={s1,s2,...}
n(S)-banyaknya anggota S
Contoh:
1. Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dalam hal ini n (S) = 6
Karena ruang sampel dapat didaftar maka S merupakan ruang
sampel diskrit.
2. Tentukan ruang sampel dari semua titik (x, y) yang
terletak di luar suatu lingkaran yang berjari – jari 5!
Jawab:
Ruang sampelnya adalah S = { (x, y) /x2 + y2 = 25} jadi n
(S) = ∞
Karena anggota dari ruang sampel tidak dapat di daftar maka
S merupakan ruang sampel kontinu.
3. Sebuah koin doilempar dua kali tentukan ruang sampelnya!
Jawab:
Karena yang mungkin muncul adalah A, G maka:
S = {AA, AG, GA, GG} jadi n (S) = 4
Ada 3 cara menentukan ruang sampel dari suatu percobaan :
• Dengan mendaftar langsung
• Dengan diagram pohon
• Dengan tabellebih jelasnya...... tapi panjang lebar !!!!!!
BAB
VII PELUANG DAN PEUBAH ACAK DISKRIT
7.1 Peluang
Dalam
kehidupan ini peristiwa yang akan atau belum terjadi masih merupakan
ketidakpastian. Ketidakpastian ini yang membawa kita kepada konsep peluang. Peluang
digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, resiko
dari suatu usaha, atau menyatakan tingkat kepercayaan. Dalam bab ini akan
didefinisikan peluang secara matematis. Konsep peluang dibangun menggunakan
konsep himpunan. Beberapa istilah yang berkaitan dengan definisi peluang
diberikan pada daftar istilah berikut.
ISTILAH
v Ruang Sampel atau ruang contoh, ditulis
dengan S, adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak.
v Titik sampel adalah setiap anggota ruang
sampel.
v Kejadian adalah suatu himpunan hasil atau
suatu himpunan bagian dari ruang sampel.
Himpunan bagian dari suang
sampel S disebut ”kejadian dalam S”.
v Gabungan dua kejadian A dan B, ditulis AB, adalah suatu kejadian yang hasil-hasilnya adalah
hasil dalan A atau hasil dalam B.
v Irisan (interseksi) dua kejadian A dan B, ditulis AB adalah suatu
kejadian yang hasil-hasilnya adalah hasil dalam A yang sekaligus adalah hasil
dalam B, atau hasil dalam B yang sekaligus adalah hasil dalam A. Jika AB =, A dan B dikatakan saling asing atau merupakan dua
kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama-sama.
v Komplemen suatu kejadian A, ditulis AC adalah
suatu kejadian dalam S yang hasilnya adalah bukan hasil dari A.
Contoh 7.1
Misalkan pada percobaan memeriksa tiga barang
(komponen elektronik tertentu) yang dihasilkan oleh mesin tertentu di suatu
pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan sebagai baik (B) atau cacat (C).
Ruang sampel dalam percobaan ini
adalah S = {BBB, BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}
Misalkan:
K adalah kejadian tidak terdapat barang yang
cacat,
L adalah kejadian terdapat barang yang cacat,
M adalah kejadian terdapat satu barang yang cacat,
N adalah kejadian terdapat dua barang yang cacat,
O adalah kejadian banyaknya barang yang cacat satu
atau dua buah,
maka
K = {BBB}
L = {BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}
M = {CBB, BCB, BBC}
N = {BCC, CBC, CCB}
O = {CBB, BCB, BBC, BCC, CBC, CCB}
Perhatikan bahwa kejadian L = = Kc,
kejadian O = MN
Tentukan M N, M L, N L, L O
Definisi Peluang
Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan dan
A, A1, A2, ... kejadian yang mungkin pada ruang sampel
ini. Suatu fungsi P(A) disebut peluang dari A, jika memenuihi sifat-sifat
berikut :
- 0≤ P(A)
- P(S) = 1
Untuk sembarang kejadian A, A, A…… yang saling asing yaitu A∩ A= Ø untuk i≠j maka P=
Definisi Klasik Tentang Peluang
Jika suatu eksperimen menghasilkan sejumlah hingga
hasil yang mungkin, misalnya n, dan setiap hasil tidak mungkin terjadi
bersama-sama serta masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi,
maka , dengan n(A) = banyaknya hasil dalam A.
Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan acak,
maka berlaku:
1.
P(Ac) = 1 - P(A)
2. Untuk sebarang kejadian A dan B
dengan AB = ,
P(AB) = P(A) + P(B)
3. Untuk sebarang kejadian A dan B,
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
Contoh 7.2
Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari kotak
dengan 52 kartu, sehingga setiap kartu mempunyai peluang yang sama untuk
terpilih yaitu dengan peluang1/52.
Misalkan A adalah kejadian diperoleh “sebuah kartu as
merah” dan B adalah kejadian diperoleh “sebuah hati”, maka
P(A)=2/52 dan P(B)=13/52
P(AÇB) = 1/52.
P(AÈB) = 2/52 + 13/52 - 1/52 = 14/52 = 7/26
7.2 Peubah Acak Diskret
Misal S ruang sampel. Fungsi X yang
memetakan setiap anggota ruang sampel S ke suatu bilangan riil disebut peubah
acak (variabel random). Peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf
besar, misal X, Y, Z, dan sebagainya, sedangkan nilai-nilai dari peubah acak
dinotasikan dengan huruf kecil misal x, y, z, dan sebagainya.
Contoh 7.3
Pada percobaan melambungkan satu mata uang logam
setimbang satu kali, misalkan yang diperhatikan adalah sisi mata uang yang
muncul yaitu Angka (A) atau Gambar (G), maka ruang sampel S = {A,G}.
Misal X adalah peubah acak yang menyatakan frekuensi
munculnya gambar, maka nilai-nilai X yang mungkin adalah 0 atau 1.
Himpunan semua nilai X yang mungkin dinotasikan
dengan X(S), sehingga untuk contoh di atas X(S) ={0,1}.
Contoh 7.4
Seorang petugas bagian penerima dan pemeriksa barang di suatu
departemen bertugas untuk mengamati barang-barang eletronik yang diterima oleh departemen
tersebut apakah baik (B) atau cacat (C). Karena adanya keterbatasan waktu,
petugas tersebut tidak dapat mengecek semua barang yang masuk melainkan hanya
akan mengambil secara acak 3 barang saja.
Seluruh hasil yang mungkin dari pengamatan
petugas tersebut adalah
S = {BBB,BBC,BCB,CBB,CCB,CBC,BCC,CCC}
Misal Y peubah acak yang menyatakan banyaknya
peralatan yang cacat, maka nilai-nilai Y yang mungkin adalah 0, 1, 2, atau 3. Jadi Y(S) = {0,1,2,3}
Contoh 7.5
Jika dua dadu setimbang bermata enam dilambungkan sekali, maka ruang
sampel dari percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:
Dadu
|
II
|
||||||
I
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(6,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
Misal T peubah acak yang menyatakan jumlah mata
dadu yang muncul, maka T(S) = {2, 3,
4, …, 12}
Selain itu, definisikan contoh peubah acak yang
lain dari percobaan melambungkan dua dadu setimbang bermata enam di atas.
Jika himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah
acak X merupakan himpunan terhitung yaitu {x1, x2, x3,
…., xn} atau {x1, x2, x3, …. } maka
peubah acak tersebut disebut peubah acak diskret.
Pada contoh di atas X,Y,T merupakan peubah acak
diskret.
7.3 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret
Fungsi peluang peubah acak X dinotasikan
dengan f(x) didefinisikan sebagai f(x) = P(X = x). ( f(x) didefinisikan sebagai peluang
X=x )
Untuk Contoh 7.3 di atas, nilai-nilai f(x)
adalah:
Untuk Contoh 7.4, nilai-nilai f(y) dapat dinyatakan dalam
tabel berikut:
y
|
0
|
1
|
2
|
3
|
F (y) = P(Y =y)
|
|
|
|
|
Tabel di atas merupakan tabel sebaran
peluang peubah diskret Y.
Grafik sebaran peluang peubah acak diskret Y dapat
digambarkan sebagai berikut:
SIFAT:
Fungsi f(x) merupakan fungsi peluang dari peubah acak diskret X jika:
i).
ii).
Latihan 7.
1. Tentukan peluang kejadian K, L, M, N, O
2. Dari Contoh 7.5 di atas:
- Buatlah tabel sebaran peluang peubah acak T.
- Buatlah grafik sebaran peluang peubah acak T.
- Hitunglah P(T > 7).
- Hitunglah P(3 < T < 7).
- Hitunglah P(T < 8).